一、分類分步的解題原理

何為分類分步，簡單來說，我要從長沙去北京，完成這樣一件事情有三類方法：一是坐火車過去，有3趟不同的火車;二是坐汽車過去，有2趟不同的汽車;三是坐飛機過去，有4趟不同的航班，那么我從長沙到北京就一共有3+2+4=9種不同的方法。三類方法每一類都能單獨完成從長沙到北京這件事情，所以把每一類的方法數(shù)相加，這是分類相加的原理。如果我需要從長沙先到武漢，然后到北京，假設(shè)從長沙到武漢有4種方法，從武漢到北京有3種方法，那么總方法數(shù)就有4×3=12種。這是分步相乘的原理。其特點是每一步都不可缺少，且每一步都不能單獨完成任務(wù)。

二、真題演練

分類分步是相輔相成的，做題的時候一般是先考慮分類再考慮分步。比如說這樣一道題：

【例1】由1-9組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有多少個?

A.432 B.504 C.639 D. 720

解析：三維數(shù)可以分成個、十、百三步去完成，首先完成個位，可以放任意的數(shù)字，一共有9種方法;然后完成十位，因為不能和個位一樣，所以去掉個位之后還剩下8個數(shù)字，共有8種方法;最后填百位，不能和十位以及個位相同，一共有7種方法。根據(jù)分步這道題相對來說比較簡單，但是再加工一下就變得比較復(fù)雜了，如下題：

【例2】由0-9十個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有多少個?

A. 392 B.432 C.450 D.630

解析：分析一下這道題，題目要求是三位數(shù)，那么0這個數(shù)字就不能放在百位上了，也就是說百位共有9種方法，而十位可以任意的放置，共有10種方法，個位必須是偶數(shù)，只有0、2、4、6、8這5種方法。但我們不能說有9×10×5=450種方法。因為條件要求沒有重復(fù)數(shù)字。按照分類分步的想法，可以分成這兩類：

①個位為0，那么此時十位有9中方法，百位有8種方法，分步相乘，共有9×8=72

②個位不為0，那么此時個位有4種方法，百位也不能為0，且不能和個位重復(fù)，共有8種方法，十位只要不和百位以及個位重復(fù)就可以，共有8種方法。分步相乘共有4×8×8=320種方法。

按照分類相加，總方法數(shù)為72+320=392種。選A

【例3】現(xiàn)在要從甲、乙、丙、丁四個人中選出三個人來分別操作A、B、C三臺機器，已知甲不能操作A機器，乙只能操作C機器。丙和丁倆人都能熟練操作這3臺機器。問一共有多少種安排方法。

A.5 B.6 C.7 D.8

解析：根據(jù)例題2的分類思路，這道題我們可以這樣去思考：C機器是一定要有人來操作的，如果我選了乙，他就只能去操作C機器，如果我沒選乙，C機器就安排別人來操作。所以可以分為一下兩類：

①三人中有乙，此時剩余兩人不確定，但是因為機器是一定要有人來操作的，從機器的角度去思考，首先乙機器由乙來操作，只有1種方法;然后A機器不能由甲來操作，所以從丙和丁中選1人來操作A機器，有兩種方法，剩余的B機器從剩余的兩人中任意選一個就可以了，也有兩種方法。按照分步相乘，方法數(shù)為2×2=4種。

②三人中沒有乙，那就是選了甲丙丁三個人，此時A不能由甲操作，只能從丙丁中選一個人，有2種方法，B機器隨意，從剩下兩人中選一人，有2種方法，最后的一人去操作C機器。分步相乘共有2×2=4種方法。

再根據(jù)分類相加，總方法數(shù)為4+4=8種。選D。

專家認為，從這三個例題的思考方向來看，先分類再分步是主要思路。分類往往根據(jù)有限制的元素來進行，考生在練習(xí)題時用這樣的思路去思考，相信能夠很快掌握。